在图论中经常会遇到这样的问题,在一个有向图里,求出任意两个节点之间的最短距离。我们在离散数学、数据结构课上都遇到过这个问题,在计算机网络里介绍网络层的时候好像也遇到过这个问题,记不请了... 但是书本上一律采取的是Dijkstra算法,通过Dijkstra算法可以求出单源最短路径,然后逐个节点利用Dijkstra算法就可以了。不过在这里想换换口味,采取Robert Floyd提出的算法来解决这个问题。下面让我们先把问题稍微的形式化一下:
如果有一个矩阵D=[d(ij)],其中d(ij)>0表示i城市到j城市的距离。若i与j之间无路可通,那么d(ij)就是无穷大。又有d(ii)=0。编写一个程序,通过这个距离矩阵D,把任意两个城市之间的最短与其行径的路径找出来。
我们可以将问题分解,先找出最短的距离,然后在考虑如何找出对应的行进路线。如何找出最短路径呢,这里还是用到动态规划的知识,对于任何一个城市而言,i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能,所以可以令k=1,2,3,...,n(n是城市的数目),在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值;在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k与k到j的最短距离,因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。所以,若有d(ij)>d(ik)+d(kj),就表示从i出发经过k再到j的距离要比原来的i到j距离短,自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj),每当一个k查完了,d(ij)就是目前的i到j的最短距离。重复这一过程,最后当查完所有的k时,d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。所以我们就可以用三个for循环把问题搞定了,但是有一个问题需要注意,那就是for循环的嵌套的顺序:我们可能随手就会写出这样的程序,但是仔细考虑的话,会发现是有问题的。
for(int i=0; i<n; i++)
for(int j=0; j<n; j++)
for(int k=0; k<n; k++)
问题出在我们太早的把i-k-j的距离确定下来了,假设一旦找到了i-p-j最短的距离后,i到j就相当处理完了,以后不会在改变了,一旦以后有使i到j的更短的距离时也不能再去更新了,所以结果一定是不对的。所以应当象下面一样来写程序:
for(int k=0; k<n; k++)
for(int i=0; i<n; i++)
for(int j=0; j<n; j++)
这样作的意义在于固定了k,把所有i到j而经过k的距离找出来,然后象开头所提到的那样进行比较和重写,因为k是在最外层的,所以会把所有的i到j都处理完后,才会移动到下一个k,这样就不会有问题了,看来多层循环的时候,我们一定要当心,否则很容易就弄错了。
接下来就要看一看如何找出最短路径所行经的城市了,这里要用到另一个矩阵P,它的定义是这样的:p(ij)的值如果为p,就表示i到j的最短行经为i->...->p->j,也就是说p是i到j的最短行径中的j之前的最后一个城市。P矩阵的初值为p(ij)=i。有了这个矩阵之后,要找最短路径就轻而易举了。对于i到j而言找出p(ij),令为p,就知道了路径i->...->p->j;再去找p(ip),如果值为q,i到p的最短路径为i->...->q->p;再去找p(iq),如果值为r,i到q的最短路径为i->...->r->q;所以一再反复,到了某个p(it)的值为i时,就表示i到t的最短路径为i->t,就会的到答案了,i到j的最短行径为i->t->...->q->p->j。因为上述的算法是从终点到起点的顺序找出来的,所以输出的时候要把它倒过来。
但是,如何动态的回填P矩阵的值呢?回想一下,当d(ij)>d(ik)+d(kj)时,就要让i到j的最短路径改为走i->...->k->...->j这一条路,但是d(kj)的值是已知的,换句话说,就是k->...->j这条路是已知的,所以k->...->j这条路上j的上一个城市(即p(kj))也是已知的,当然,因为要改走i->...->k->...->j这一条路,j的上一个城市正好是p(kj)。所以一旦发现d(ij)>d(ik)+d(kj),就把p(kj)存入p(ij)。
#include
#include
#include
#define MAXSIZE 20
void floyd(int [][MAXSIZE], int [][MAXSIZE], int);
void display_path(int [][MAXSIZE], int [][MAXSIZE], int);
void reverse(int [], int);
void readin(int [][MAXSIZE], int *);
#define MAXSUM(a, b) (((a) != INT_MAX && (b) != INT_MAX) ? \
((a) + (b)) : INT_MAX)
void floyd(int dist[][MAXSIZE], int path[][MAXSIZE], int n)
{
int i, j, k;
for (i = 0; i < n; i++)
for (j = 0; j < n; j++)
path[i][j] = i;
for (k = 0; k < n; k++)
for (i = 0; i < n; i++)
for (j = 0; j < n; j++)
if (dist[i][j] > MAXSUM(dist[i][k], dist[k][j]))
{
path[i][j] = path[k][j];
dist[i][j] = MAXSUM(dist[i][k], dist[k][j]);
}
}
void display_path(int dist[][MAXSIZE], int path[][MAXSIZE], int n)
{
int *chain;
int count;
int i, j, k;
printf("\n\nOrigin->Dest Dist Path");
printf( "\n-----------------------------");
chain = (int *) malloc(sizeof(int)*n);
for (i = 0; i < n; i++)
for (j = 0; j < n; j++)
{
if (i != j)
{
printf("\n%6d->%d ", i+1, j+1);
if (dist[i][j] == INT_MAX)
printf(" NA ");
else
{
printf("%4d ", dist[i][j]);
count = 0;
k = j;
do
{
k = chain[count++] = path[i][k];
} while (i != k);
reverse(chain, count);
printf("%d", chain[0]+1);
for (k = 1; k < count; k++)
printf("->%d", chain[k]+1);
printf("->%d", j+1);
}
}
}
free(chain);
}
#define SWAP(a, b) { temp = a; a = b; b = temp; }
void reverse(int x[], int n)
{
int i, j, temp;
for (i = 0, j = n-1; i < j; i++, j--)
SWAP(x[i], x[j]);
}
void readin(int dist[][MAXSIZE], int *number)
{
int origin, dest, length, n;
int i, j;
char line[100];
gets(line);
sscanf(line, "%d", &n);
*number = n;
for (i = 0; i < n; i++)
{
for (j = 0; j < n; j++)
dist[i][j] = INT_MAX;
dist[i][i] = 0;
}
gets(line);
sscanf(line, "%d%d%d", &origin, &dest, &length);
while (origin != 0 && dest != 0 && length != 0)
{
dist[origin-1][dest-1] = length;
gets(line);
sscanf(line, "%d%d%d", &origin, &dest, &length);
}
}
//测试程序如下所示:
int main(void)
{
int dist[MAXSIZE][MAXSIZE];
int path[MAXSIZE][MAXSIZE];
int n;
printf("\nInput the path information:");
printf("\n----------------------------\n");
readin(dist, &n);
floyd(dist, path, n);
display_path(dist, path, n);
getchar();
}
- 其中readin函数规定了输入的格式,第一列是指出有多少个城市;第二列以后每行三个数;第一个和第二个是一条路径的起点和终点,第三个数是路径的长度,最后以三个0作为输入结束条件。下面是一个输入的例子:
- Input the path information:
- --------------------------------------
- 4
- 1 2 5
- 2 1 50
- 2 3 15
- 2 4 5
- 3 1 30
- 3 4 15
- 4 1 15
- 4 3 5
- 0 0 0
- 对应的输出结果为:
- Origin->Dest Dist Path
- ----------------------------------------------
- 1->2 5 1->2
- 1->3 15 1->2->4->3
- 1->4 10 1->2->4
- 2->1 20 2->4->1
- 2->3 10 2->4->3
- 2->4 5 2->4
- 3->1 30 3->1
- 3->2 35 3->1->2
- 3->4 15 3->4
- 4->1 15 4->1
- 4->2 20 4->1->2
- 4->3 5 4->3
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